主持人熊世才：各位腾讯的网友，大家好！欢迎大家来到腾讯教育考研频道的访谈间，我是主持人熊世才。在今天上午我们工科的考生，理科的部分考生还有经管的部分考生已经结束了他们数学的考试，我们第一时间拿到了我们数学的试题，并且邀请到了海天教育集团知名的两位辅导老师来到我们现场给大家做真题的点评，首先非常欢迎杨超老师和姜晓千老师，感谢你们二位的到来。

杨超老师和姜晓千老师首先给广大网友打个招呼。

杨超：各位同学，你好！我是海天考研(微博)的数学老师，首先祝贺各位通过一年多的努力终于到现在此时此刻已经把考研全部结束了，不管考得怎么样，至少从今天晚上开始我们心情可以很放松，可以很好的调整一下，可以休闲一下。在这里我们一个团队老师，我们还有一个张老师，由于时间关系他没有第一时间赶到现场，我也替张老师跟各位考生问好一下。

姜晓千：各位网友，大家好！我是海天数学考研姜晓千老师，在海天是主线线性代数和概率。今天是恭喜一下大家，因为今年的数学考题应该说还是比较简单。同学们经过一年的努力，不管是基础的内容还是重点内容把握得都没有任何问题，今年考研数学同学们应该会考一个不错得分数，祝贺一下同学们。

主持人熊世才：杨老师和姜老师已经看到了今年数一数二和数三的真题，杨老师是高数，姜老师是线性代数和概率，你们两个能不能从试题的难度和试题的特点这两个方面给我们广大的网友点评一下今年201年年考研的真题。

杨超：首先我们从高数来看，今年的整体难度没有偏题也没有怪题，还是考察考生的三基的考察，基本概念，基本原理，基本方法以及五种能力的考察。整体难度跟2011年的考研难度持平，但是比2010年的难度要小很多。拿到这三份考题，如果要说它的特点，虽然难度与去年持平，但是我觉得今年的题会比去年考得更有特色，不同的试卷的种类的特色会非常明显，我们举几个例子，去年我们数一、数二、数三三种试卷，二重积分都是作为它的大题，去年的数一的特色，我们讲的多元函数积分学那部分，去年数一没有考大题，只考了一道空间曲线积分的填空题，今年这个题命得非常传统，也就是说我们到重点跟学生讲过的，今年考的是大线小面，数三的考题应用题考导数应用，导数在经济学上的应用。你像数二，数二它的高数内容考得比较多。高数内容考得比较多比较细，尤其是体现在大一本科学的高数一元函数的微积分，填空题还涉及到曲率的问题，这是我们经常强调过的，边边角角的知识，你要布防一下。

主持人熊世才：姜老师。

姜晓千：关于这个问题，我想同学们还是讲一下，首先咱们海天的学院还是很幸福的，尤其是学线性代数和概率的同学，线性代数和概率，历年的考研，重点非常突出。比方说线性代数这一块，整个的大题就是两部分的内容，第一部分是第三章的向量，第四章的线性方程组，一般是此消彼涨，比方说今年考了，明年就考，明年考了，后年我就考。另一个大题是第五章的向量还有二次型。这个特点在今年再一次验证了，去年考的是第三章的向量，然后今年当然考的是轮到第四章了线性方程组二。去年考的是第五章的内容，今年考二次型。线性代数这一块重点非常好把握，就这么四章的内容，关于小题这一块，第二章和第一章是一定会出小题的，今年咱们看一下，数二和数三的同学小题都是考的行列式，数一的同学，这个小题考的是第二章的内容，对于概率统计，尤其是数一和数三的同学，概率统计这一块也是非常可控的。概率统计当时讲课的时候就给他们讲到，概率统计的重点就是这么几章，总体来说第二章，第三章，第四章，第四章。数一的同学还有第六章就是统计。这四章重要重要在哪儿？考试怎么考，一般来说第三章从09年改革以来，年年考第三章的大题，尤其是数三的同学，年年考两个大题都是第三章的大题，还从来没有打破这个习惯，咱们可以给2013年的同学有一个指导，2013的同学至少会考这么一个大题。之前从09、10年，11年年年考两个大题，今年到底怎么考呢？第三章考大题一定会结合第四章的随机变量的数字特征。今年考二维离散型随机变量，这是第三章结合第四章的。

另外二维连续性随机变量结合他们的期望，今年考的是这个。今年就连了第四年了，都是第三章两个大题。数一的同学统计这一章也是很重要的，数一的同学第三章和第四章考一个大题的综合题，另外一个大题会考统计这一章。在统计数一的同学会考大题，去年考了一个大题今年又考了。不管考哪一章总会伴随着方差相关系数，第六章这个大题再一次结合了咱们的第四章的内容。考了最大估计之后让他们考一下无偏性，数一的同学重点关注第四章结合第六章的统计，这是今年考试的一个题。当然也是往年考试特别喜欢考的一个题。关于这个特点就说这么多。

主持人熊世才：刚刚杨老师和姜老师都提到很多同学遇到的问题，今年的真题，你们都在我们海天的辅导班中提过。你们带过这么多的学生，今年您的学生大概考了多少分数？你们两个比较满意呢？

杨超：这个问题我就多说几句了。我首先觉得如果在去年听过我们几个老师的课，今天拿到这份试卷还是应该做起来，刚才一个学生给我发短信，考完以后出来有点Hold不住的感觉，我们可以从第一张极限这套题，如果你听过我们的课，当然这道题考直线计算都是属于考研的一个最最基本的计算，今年考了函数的极限，就用定积分定义，这就没有什么好说的。关键是极限的计算，考了七种未定型里面的两种。我们经常在课堂里跟学生讲，我们没有像别的辅导书上提得那么多，一提到求极限，24种方法，27种方法出来。如果你真的要处理一个函数的极限，你一定要玩透泰勒公式。我们的学生很清楚，比方说今年又考了这个，听过我们的课的学生他们很清楚，我记得去年在几个不同的学校跟2013年备考的学生还分享过，说了一句很严肃的话，我说这个公式从87年第一年开始考研就年年考，从87年考到未来，我说今年这个不考，明年数学不要跟我学。今年是两个大题，都可以用到这个。如果真的学会这一点的话，那么落实到你具体的计算方面会非常的方便，会提高你的计算量，考研数学本来今年的计算量还是可以的。

接下来尤其是我先讲数一，数一在武汉讲冲刺班的时候，一个学生课间跑过来，在冲刺班下午的时候跟他们重点花了一个小时的时间再重新提了无穷级数这一张，今年一定会考大题，我们讲的难度远远超过了今年考的这个，今年的数一就考了，数三考到任意线极数，让你判断绝对收敛，我们在课上讲的难度比它讲得最多。把它分开成两项的时候，一项的系数在分母上，一项的系数在分子上，刚好是先导后极，先极后导两种同时考了，这个就是它最最基础的东西，这也是反映了目前考研题的特点。我们在这本书就是张老师和姜老师我们一起合写的这本书上。现在这本书广大的考生非常喜欢用它，我觉得是很有道理的。就是在我们这本书的201上，我们在这里讲幂级数求和问题，我们就是标标准的两道，一道系数在分母上，一道系数在分子上。别的参考书上他们总会觉得这个太太简单了，一开始会整一些复合的问题。

有几道小题也出得比较灵活性。数一考到曲面积分，因为07年也考过这样的对曲面积分。我在课堂上提过了，一定要用技巧性处理，这个技巧性处理，我们首先指的是用它的对称性，一种就是所谓的普通对称，还有一种是轮换对称。07年考的是轮换对称，也一次又考的是轮换对称。

同时给广大2013年备考一个提醒，真题的作用确实很大。还有导数定义题，它在强化班讲过导数定义，这跟今年考的，我这道题是放在模考班讲的，我把它截屏截下来了，函数的形式改变了，今年真题改变的是指数函数，主持人可以看得清楚。数二、数三的重点，在高数下策的内容，高数下策，二重积分应该是数二、数三的重点，我们讲过二重积分如果考大题，年年只能这么考，还有抽象函数，我们在跟学生提复习建议的时候，如果今年要考二重积分大题出来，只能回归到之前考过的几种情况，今年考的是在无界区域上的二重积分。

主持人熊世才：姜老师，您的学生也提有什么情况，或者是他能考多少分您比较满意呢？

姜晓千：关于分数这一块，我觉得咱们的学生只要是好好停课，考120、或者是130没有任何问题。首先从授课的内容上来说，授课包括精品课，也包括大课，也包括梦想特训营。我想在课堂上给他们讲过很多的方法和技巧，包括这个知识点百分之百的覆盖掉了。举个例子，比方说咱们今年考了一个题，数一的同学概率统计考了一个题，他说把长度为一的木块截一块其中一段为X，另一端为Y，问一下这两段的相关系数。在08年考过一个题，当时抛一个硬币抛N次，问一下正面向上的次数和X，反面向上的次数是Y，问一下它俩的相关系数是多少，这个题是不是可以说是一模一样，唯一的变化是那个是N次，这个是长度是1，不管是1还是N结果都是一样的，相关系数都是负1。它俩是一个线性的话，尤其是斜率为正的线性，相关系数就是正1，如果斜率是一个负的话，相关系数就是负一。

抛一枚硬币，正面和反面的次数加在一起一定等于N。咱们学概率，咱们考虑的都是正常的情况，你抛完了硬币就是正面或者是反面，没有站着或者是找不着的情况。X+Y一定等于N。Y是不是等于负X加N。相关系数是不是负1。把长度为1的木块一截，一段是X，一段是Y，X+Y是不是等于1，斜率是不是一个负的，相关系数是不是负一。给你讲的点以及当时补充的那个题，一秒钟之内就可以解决。

给特训营的同学最后讲冲刺，给同学们讲了多个随机变量函数，尤其是最极函数的分布，这个分布包括他们的分布函数以及密度函数。今年咱们数三的同学压轴的大题就是这个。当时讲的是N个，N个都会，两个你不会吗？给了两个指数参数为1的指数分布，问一下他们的最大值函数的分布，最小值函数的分布，这个同学们不是很简单吗？你有了N个，知道了一个，两个不很好吗？两个就是平方。求一下导就是它的密度，有了密度以后，第二问来了，让咱们求期望。期望这一章所有的章都可以结合了，这就是期望这一章结合了第三章吗，只要是之前的N个掌握了，这一块关于两个就非常简单了。

所以说通过授课这一块，我想咱们知识点已经讲得非常透彻了，而且相应的方法和技巧补充得很完善。单凭授课这一块肯定是没有任何问题的。另外咱们的参考书，我想我跟张玉老师今天没有过来，他特地拖了我和杨超老师说一下，也是给同学们一个祝福。因为他现在也是感觉比较欣慰，我们这一系列的考研丛书，不管是高等数学的十讲还是线性代数的八讲，知识点还有相关的类似的题都可以覆盖到，这一块丛书咱们给同学的知识的补充应该说也是非常完善了。

通过丛书和授课这两个方面咱们的学员考一个高得分数没有任何的问题。

主持人熊世才：看来今年杨超老师和姜晓千老师的学生都会考一个比较高得分数。学生们都考完了，他们可能最关心的问题就是今年得分数线问题。杨超老师和姜晓千老师能不能大致估计一下今年的数一、数二、数三较往年相比有没有大的改变。

杨超：刚才就主持人之前问的问题，我们教出来的学生考多少分是满意的。你真的是好好停课经过自己努力的，考出来得分数站在老师的角度都是非常满意得分数。如果预估分数线的话，我们讲这个话的表述意思就是看你的院校非常有关系，来一个平均分没有意思。年年的平均分，数一、数二、数三，今年的平均分跟去年应该是持平的，但是你知道这样的一个平均分对你来讲没有太多的实际上的帮助。姜老师，你赞同吗？如果你考数一考的是非常热门的专业，现代通信，电器，建筑等等，你考的是非常好的学校，现在在屏幕前的很多学生考数三，考经济管理。这份试卷如果你选的是中国二三十个非常一流的学校，当然我们这么讲做出的前提是我们只是一个正常的同学，正常的同学，比如说我们政治考了70、80分，英语(论坛)考了60来分，这样想保证初试成绩排到高点，数学应该考到130分。对我们去年的几个学员，去年我们学校考北大光华的，每年会发现这样的现象。要录取进去，数学要过130分。听到这样不要难受，前提是不同的学校，不同的专业，如果本来你的数学不是很好，你报考的城市不是太大，学校不是太好的，你考到100来分也是非常满意的。

主持人熊世才：刚刚杨老师提到得分数是140分以上。想达到这样的一个分数，2012年已经结束了，那就是2013年的学生他们如何达到130分、140分以上的高分，你能给同学们提供复习的方法吗？

杨超：我在平时授课过程里，我主讲了高数讲得比较多，我就从高数的角度，姜老师从线性代数和概率的角度。从你自己规划的时间来讲，第二点就是你选择一个怎样的外界条件来帮助你，然后就等于两方面要彼此结合，第三个非常好的一套辅导体系的教材也是非常重要的。

首先从自己的主观角度来讲，我觉得考研数学确实是这样的，你虽然看到这个题目不难，因为现在出题它已经不会产生什么偏题难题怪题出来。我们每次总强调一点，站在考生自己的角度来讲，你需要早点准备，你准备什么东西呢？就是所谓的基础知识，基础知识也是很抽象的，每次在课上会给学生这么讲，尤其是你要提高自己的计算能力，这是最关键的。因为外界的东西，你通过来跟我们学习，找到一个好的团队老师来辅导你，外界所有的东西这个可以掌握。但是毕竟是你自己坐在考场里面去考。

还有一个学生，我问他整个这份试卷做下来哪里出现了问题，他就说二重积分的问题花了一点时间。这个对你来说，你要合理的安排自己的规划的流程。接下来我们应该是2013年的考研，如果你指望你明年这个时候，我们考完数学出来心态会非常好，跟我们现在坐在这里，因为我们是站在老师的角度，我们看到今年的考题，看到我们平时跟学生授课的内容，我们坐在这里比较高兴。如果你想保证你明年考完也是这样的心情，我希望您今年的寒假就要着手复习。第一个阶段你要抓住基础，你从现在的考题看得非常清楚，你看今年的考题它是一元函数的微积分学，导数的应用这部分这章的内容考得特别多。从导数的定义，最最基本的隐函数的求导，它跟微分方程结合了。我们讲这是肯定考的。去年考的是选择题，整个高等数学的内容是考研数学里面占的比重最大的，一个是难度最大的。两个最大的难度就在于如果会考到中值定理的证明，这两个方面都没有涉及到。对于我们下一届这个应该是它的重点。

一元函数的积分学就是考了两个小题，一个是考的定积分的性质，就是判定定积分的大小，一道定积分的计算题，这是非常基础的。为什么要重点看基础呢？你看它的下策多元函数的应用那里，微分学那里考得很传统的，小题考的偏导数求微分。大题考的是极值和最值的问题。可以出三道题。它这个题的难点，关键是在求解方程，但是今年的大题就是考的第一种情况，无条件的极值，这道题如果你对真题了解很清楚的话，至少在过去十年考过两次是这样的。第一次是2004年考了一个大题，但是那道大题的计算两比今年大得多，它是考的隐函数，让你求它的极值，今年考的是显函数。我们在模考班，我们当时给的函数的载体是哪个函数。这是我对2013年同学的建议。数学选择一个好的团队老师真的是特别重要。因为你要借助于外界的条件，外界条件就是你同样的辅导，不同的老师会给你带来不同的作用。比如说我刚才讲的它背后没有太多的神秘的东西，是通过泰勒定理整理出来的。我们在课堂上经常跟学生这么讲，不可能这么考，都是把X变成一个函数，我在课上也喜欢这么讲。当X趋于零的时候，这道题就是框框等于零。当X趋于零的时候，狗趋于零。如果你没有听过这样的课，光看书你落实不到，理解不到这么深的，这是一个最最表面的现象。如果你懂了这个道理，听完我们的课，如果看完一个函数载体比如说X趋于零的时候，我们听完课的同学连这样的都可以直接等价多少可以出来。更欣慰的是，这本书是我们去年几位老师，我们是去年的3月份出版的，在我们去年上完强化班以后，这本书广大学生非常喜欢用。今天看到这个题比较欣慰的一点就是，我觉得这是比较难得的。

这是我们2012年用的书，这个书摆在这里。多元函数的积分学。我们这本书上139页这道题读一遍。

主持人熊世才：设在全平面上有FXY的导数小于零，求FY的导数大于零，下列四个条件是FXY1小于FXY2成立的条件是什么。

杨超：这就是数学一样的题，数学的知识点很固定，你说你讲到题型那不算的，因为年年只能这么考，现在微分学，高等数学今年考导数应用考得比较多，导数应用可以考三种情况。第一种通过导数的应用就体现在三种题型上，第一种就是中值定理证明，我们还可以引申到方程跟的讨论，还有证明不等式。这三种每年是这样轮回来的。像去年刚刚考完方程根的讨论，今年在课上重点跟学生强调两点，不等式的证明和中值定理的证明。中值定理的证明的难度会更大，今年还是缓冲一下，考了不等式的证明，不等式的证明方法很多，但是在课上，你看我的录像，我重点拍起桌子跟说他，用单调性求导，用单调性求作。这是一贯跟学生疏导的理念。海天的理念，我们都是让学生用短时间高效率去考出自己比较满意的成绩。

主持人熊世才：姜老师从线性代数和概率方面给大家提供一个简单的复习的方法。

姜晓千：如果之前谈的是2012年的总结，下面对2013年的同学就会有更好的作用。刚才杨老师已经把高等数学这一块说得很细了，下面我给大家说一下线性代数和概率。我跟大家之前说过它的最大的特点就是重点非常鲜明，年年岁岁花相似，每一年的重点就是这么些，绝对超不出这个范围，下面给同学们具体说一下，线性代数这一块应该说最最重要的其实刚才已经提到了，咱们再简单说一下，尤其是2013年的同学好好听一下。

最最重要的就是三四五六章，三四章一定会考一个大题，这一章考大题，那一章稳定会考小题。第四章是在线性方程组的判定以及通解。第五章和第六章，你考大题我就考小题，你考小题我就考大题的。每一年都是这样的，第五章考大题可能在哪一块呢？特征向量的性质，相似以及相似对角化。另外对称矩阵，这一块是那一个点。当时考试之前跟他们重点讲了，对称矩阵可以说是五六章共同的核心，考它主要是把握住两块，也就是两个主要的性质，每个性质都可以考大题。其中有一个性质就是不同特征值的特征向量一定是正交的。这一块咱们2011年考了，另外一个就是正交相似对角化。这一个今年考了。今年考大题就考这两点。

第六章跟第五章一样，你考大题我就考小题，第六章怎么考呢？一般就是考标准化，当时也跟他们说过，所谓的标准化就是对称矩阵找到那个正交的矩阵。第五章第六章一个共同的核心就是实对称矩阵。希望2013年的同学把握住五六章的实对称矩阵这五个字。

关于概率统计所有的同学不考，数一和数三的同学好好听一下，之前提过概率统计这一块，我跟他们说一下，一个非常核心的章节就是第三章二维随机变量，二维随机变量这个地方考试两个点，第一个点就是它的联合的，边缘的，条件的分布。连续性什么一个情况，我们想一想考它的边缘实际上有是考一维的，考一维是不是第二章的内容，第三章可以延伸到第一章。第三章的另外一个重点就是两个随机变量或者是多个随机变量。这个地方之前会考加法、减法，今年考的是最大值，最小值。这一块绝对是重点。

有了第三章，延伸到第二章，另外就是第四章，二三章势必会给同学们加上第四章的内容，就是有了一维的，有了二维的，让我们求一下协方差，相关系数，你把我住概率统计，95%以上的点就把握住了。关于数一的同学还不够，最后一章，统计这一块，重点有这么几个，就是统计量的三大分布，今年数一的同学它考了一个T分布。这一块是重点，一般来说是考小题。当然往年它也集合期望方差考过大题，这个不好说。

数一的同学是非常喜欢考大题的。另外统计这一章的另外一个重点是什么呢？当然就是点估计，准确的说就是矩估计以及最大估计。数一的同学年年要考一个大题，考完之后再加上一个第四向量，期望方差。这样考研的老师是不是特别喜欢这种综合类型的题目，还是那句话，关于概率统计，同学们把握住二维的，然后延伸到一维的，再结合到第四章的期望方差和数方差。另外同学们还要关注概率统计这一块。概率统计很好拿分，要求同学们就是朝着满分努力，重点就是这些，希望同学们能够好好把握一下就可以了。

主持人熊世才：非常感谢杨老师和姜老师今天能够来到我们直播室给大家做一个现场的点评，今天我们的现场访谈就到这儿就结束了